在数学上，不可数个数求和是可数个数求和（数项级数）的自然推广，不可数求和不必像可数求和那样规定序关系（为了方便使用数的序列记号我们在可数求和中直接使用自然数集作为指标集），它可以在任意一个指标集上进行，对不可数求和的定义也同样适用于可数求和（级数）情形。
定义[]
假设有非空集合
X
{\displaystyle X}
及其上的一个函数
f
:
X
→
[
0
,
+
∞
]
{\displaystyle f: X \to [0, +\infty]}
，那么我们定义
∑
x
∈
X
f
(
x
)
:=
sup
{
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
)
:
n
∈
N
,
{
x
i
}
i
=
1
n
⊂
X
}
{\displaystyle \sum_{x \in X} f(x) := \sup \left\{ \sum_{i=1}^n f(x_i): n \in \N, \{ x_i \}_{i=1}^n \subset X \right\}}
即对所有可能的
X
{\displaystyle X}
的有限子集赋值求和然后取上确界，我们称
f
{\displaystyle f}
在
X
{\displaystyle X}
上的和是
∑
x
∈
X
f
(
x
)
.
{\displaystyle \sum_{x \in X} f(x).}
如果这个上确界是小于无穷的，我们就称
f
{\displaystyle f}
在
X
{\displaystyle X}
上是可和的。
正项级数的求和定义和上面的定义等价。
基本命题[]
假设有非空集合
X
{\displaystyle X}
及其上的一个函数
f
:
X
→
[
0
,
+
∞
]
{\displaystyle f: X \to [0, +\infty]}
，如果
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
>
0
}
{\displaystyle \{ x \in X: f(x) > 0 \}}
是不可数集，那么
∑
x
∈
X
f
(
x
)
=
+
∞
.
{\displaystyle \sum_{x \in X} f(x) = +\infty.}
否则
f
{\displaystyle f}
在
X
{\displaystyle X}
上的求和是可数求和（即正项级数）。
关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠对任意正整数
n
,
i
{\displaystyle n, i}
定义集合
S
n
,
i
=
{
x
∈
X
:
(
i
−
1
)
/
n
⩽
f
(
x
)
<
i
/
n
}
{\displaystyle S_{n, i} = \{ x \in X: (i-1)/n \leqslant f(x) < i/n \}}
，那么固定
n
{\displaystyle n}
时集族
{
S
n
,
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \{ S_{n, i} \}_{i=1}^\infty}
是可数集，那么必定存在一个
i
0
∈
N
{\displaystyle i_0 \in \N}
使得
S
n
,
i
0
{\displaystyle S_{n, i_0}}
是不可数集，
如果
i
0
>
1
{\displaystyle i_0 > 1}
，那么
S
n
,
i
0
{\displaystyle S_{n, i_0}}
中的元素关于
f
{\displaystyle f}
赋值有正的下界
i
−
1
n
{\displaystyle \dfrac{i-1}{n}}
，这就表明结论成立。
如果
i
0
=
0
{\displaystyle i_0 = 0}
，那么将
n
{\displaystyle n}
取为
n
+
1
{\displaystyle n+1}
继续重复分割过程。如果对任意
n
∈
N
{\displaystyle n \in \N}
不可数个元素始终都在
S
n
,
1
{\displaystyle S_{n, 1}}
里，那么这实际上会导出矛盾，因为
0
⩽
f
(
S
n
,
0
)
⩽
1
n
{\displaystyle 0 \leqslant f(S_{n, 0}) \leqslant \dfrac{1}{n}}
导出了
f
(
S
n
,
1
)
=
0
{\displaystyle f(S_{n, 1}) = 0}
。
这个命题以及命题的证明都是集合论上的一个经典做法，这个事实在测度论上会相对频繁地出现，例如关于原子测度的一个事实：
在一个
X
{\displaystyle X}
上有限的测度
f
{\displaystyle f}
，那么
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
>
0
}
{\displaystyle \{ x \in X: f(x) > 0 \}}
必定是可数的，否则会和有限性矛盾。